Mesurer

C’est rendre discontinu ce qui est continu pour pouvoir y accrocher du nombre. Pour mesurer, il faut choisir un étalon, le reporter régulièrement en marquant des traits à l’extrémité de chaque unité-étalon et créer des sous-multiples pour la dernière partie.

Le comptage-compter

Activité de récitation de la suite des noms de nombres, càd, de la chaine numérique verbale. Le comptage ne suffit pas à fonder la compréhension du nombre. Va installer l’ordre.

Qu’est-ce qu’un nombre ?

Un nombre est totalement abstrait !

Il est la synthèse de deux relations, une relation de cardinalité (aspect cardinal) et une relation d’ordinalité (aspect ordinal).

Aspect cardinal: le nombre est l’étiquette d’une classe d’équivalence, visible par les yeux, dans laquelle il y a une infinité de collections. (Imaginez une boite à chaussures dans laquelle il y a des « trois » : trois crayons, trois gommes, trois cahiers, trois billes…Trois c’est ?). A l’intérieur d’une collection, les uns sont identiques et permutables.

D’une collection à l’autre, rien de ce qui est perceptif visuellement n’est identique. (3 gommes, ce n’est pas pareil que 3 cahiers). Il y a une bijection entre les collections. (C’est ce qu’on appelle la correspondance terme à terme). Les collections sont liées par une relation d’équivalence « a le même nombre que ». ( La collection gommes a le même nombre que la collection cahiers).

Aspect ordinal: le nombre est aussi déterminé par une relation d’ordinalité « est plus grand que », « est supérieur à ». Je range toutes mes boites à chaussures dans un certain ordre en fonction de leurs étiquettes. Chaque nombre a une place définie.

Le dénombrement-dénombrer

Activité qui permet de déterminer le cardinal d’une collection.

Pour pouvoir dénombrer, cinq principes doivent être maitrisés:

-       Adéquation unique : un seul mot nombre par objet, sans compter deux fois le même, sans en oublier,

 sans s’arrêter avant la fin. (Correspondance terme à terme).

-       Ordre stable de la chaine numérique : deux, sept, quatre, quinze…ça ne marche pas…

-       Principe cardinal : prononcer uniquement le dernier mot nombre.

-       Principe d’abstraction : chaque élément de la collection d’objets est équivalent aux autres.

-       Non pertinence de l’ordre : compter à partir de n’importe où ne modifie pas le nombre.

2. Les outils opératoires (outils pour agir) indispensables pour entrer dans l’apprentissage des mathématiques.

 2.1 Les opérations logicomathématiques.

Elles organisent les quantités, les objets discontinus. Elles sont fondées sur les différences, les ressemblances et les équivalences entre les éléments. Elles conduisent aux notions de classification, de sériation, et de nombre. Elles mettent en jeu les concepts de conservation, de correspondance terme à terme, d’équivalence numérique.

            2.2.1 Classification

Mettre ensemble ce qui va ensemble. Donc, observer les ressemblances, les différences et mettre en relation les éléments en fonction de leurs similitudes et de leurs différences. Relation d’équivalence. Nécessite de pouvoir déterminer des discriminations.

            2.2.2 Sériation

Disposer les éléments en ordre croissant ou décroissant. Relation d’ordre. Implique la capacité de coordonner la comparaison de deux ou trois éléments. Elle joue un rôle important dans l’organisation des nombres puisqu’elle permet de structurer la succession des nombres et de les situer dans une suite ordonnée de zéro à l’infini.

            2.1.3 Conservation

Capacité de dégager les aspects invariants de l’objet au travers des transformations qu’il subit. (Même quantité de liquide dans un long verre mince que dans un petit gros, boule de plasticine qu’on déforme). Intervient aussi dans les notions de mesure.

            2.1.4 Correspondance terme à terme

Elle permet de comparer deux quantités sans devoir quantifier au préalable. La non-pertinence de l’ordre est un principe important de la correspondance terme à terme. Nécessité de travailler avec des collections différentes quant à leur taille, leur nature et leur disposition.

            2.1.5 Equivalence numérique

Le fait de pouvoir nommer de diverses façons une seule et même quantité à partir d’unités différentes. Penser une même quantité sur deux (ou plus) modes à la fois. (5 doigts ou 1 main , c’est pareil; 7 jours ou 1 semaine…) Ce principe requiert une grande mobilité de la pensée, la capacité de porter un double regard sur une quantité donnée et une capacité importante de décentration de son propre point de vue.

2.2 Les opérations infra-logiques

Elles portent sur les quantités continues. Elles mènent aux notions de temps (chronologie et durée) et d’espace qu’il s’agit de découvrir. Elles sont à l’origine de la mesure dont il y a lieu de comprendre le sens.

            2.2.1 La géométrie

Se repérer sur une carte, évaluer des distances, partager un gâteau en parts égales, tapisser en respectant la verticalité des bandes de papier peint, se coiffer dans un miroir, …La maitrise de l’espace est une compétence tout aussi indispensable que la bonne maitrise des nombres et de la numération pour une bonne insertion sociale. On constate que l'enfant suit, à peu près, les mêmes tentatives de structuration de l'espace que nos sociétés. Ainsi l’enfant passe souvent, et dans l’ordre, par un stade de découvertes relatives à des notions topologiques puis par la découverte de certaines propriétés projectives avant d’arriver à une structuration euclidienne. Par la suite, l’évolution de ces différentes « géométries » se fait corrélativement les unes aux autres.

Il y a donc lieu de travailler les 3 types de géométrie:

Topologique :

Déformation par étirement et compression, sans déchirure, ni pliage, ni collage de la figure considérée, étant entendu qu’on peut revenir à la notion initiale. Les propriété laissées invariantes en topologie sont : notions de continu, discontinu ; voisinage ; domaine et frontières ; à l’intérieur et à l’extérieur ; fermées ou ouvertes ; figures trouées ou non ; figures concaves ou convexes ;…

Projective :

Notion de direction : haut, bas ; devant, derrière ; gauche, droite, … Repérage dans l’espace et orientation évoquant soit la position, soit le mouvement.

euclidienne:

Notion de distances, mesures, …

            2.2.2 Le sens de la mesure

Très rapidement, l’enfant éprouve le besoin de comparer, de mettre en relation les choses, les objets et même les personnes qui l’entourent selon l’un ou l’autre critère. Il manifeste par là un besoin de maitrise de son environnement. Ce critère s’exprime presque toujours par « … plus … » ou « …moins … ».Ce désir de quantification coïncide souvent au développement du concept de nombre chez l’enfant.

            2.2.3 Le temps

Le temps se construit avec le temps (les expériences et leur interprétation du monde qui les entoure) Le temps organise toute notre vie sociale et il est bien difficile, voire impossible, de s'adapter à notre société moderne si nous ne maitrisons pas cette notion. Mais il en faut du temps avant que l'enfant ne soit à l'aise avec les noms et la succession des jours, des semaines, des mois, qu'il sache lire, interpréter et utiliser l'heure, qu’il puisse se situer dans sa fratrie, etc.

2.3 Quelles situations pédagogiques proposer ?

L’élève doit construire…et non-recevoir. En effet, ni le nombre, ni les concepts de temps et d’espace ne s’apprennent: ils se construisent petit à petit grâce aux expériences , aux interprétation du monde qui les entoure. Notre rôle serait donc de proposer aux enfants un environnement riche en expériences, questions diverses qui remettent toujours question leur interprétation de la réalité.

Jaulin-Mannoni citée par Gueritte-Hess (1996) souligne le paradoxe de ce genre de situation pédagogique. Elle avance que c’est en proposant aux élèves des situations qui leur posent problème, qui éveillent mille questions en eux, en leur laissant envisager différentes solutions, différents types de raisonnement, sans  leur apporter de solutions, en les libérant de la contrainte de la «bonne» réponse, sans les écraser par un jugement (qu’il soit positif ou négatif) en veillant à ce que toujours l’intérêt et le plaisir soient au cœur de la recherche tant chez les enfants que chez l’animateur, qu’on les aide à progresser dans la maitrise de ces outils opératoires indispensables à tout raisonnement mathématique.

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3. Des dispositifs qui favorisent l’appropriation de ces outils.

3.1 Le jeu comme outil didactique

Du point de vue scolaire, la compétence se définit comme une aptitude à mettre en oeuvre un ensemble organisé de savoirs, de savoir-faire et d’attitudes permettant d’accomplir un certain nombre de tâches et il apparait que la mobilisation (l’aptitude à mettre en oeuvre tout son acquis) est essentielle. Or, tout jeu exige de faire preuve de compétence : si l’enfant veut, par exemple, construire un pont avec des « lego » ou créer de nouveaux modèles que ceux qui lui sont présentés, il va devoir mobiliser tout son savoir et tout son savoir-faire en ce qui concerne les célèbres petits blocs en plastique pour le réaliser. Le jeu exige donc, grâce à la créativité que suscite le matériel, de mobiliser des compétences et non pas uniquement d’appliquer des procédures apprises. De même, l’enfant, un peu plus âgé, qui découvrira un jeu de société, devra mobiliser ses savoirs et ses savoir-faire en élaborant des stratégies personnelles tout en respectant les règles du jeu. L’enjeu nous parait de taille car le jeu pourrait ainsi exercer une forme d’aptitude à mobiliser. Pour prendre part à un jeu de société, l’enfant doit non seulement en maitriser les règles (les comprendre et les avoir intégrées) mais surtout se montrer compétent dans le choix d’une stratégie, d’une mise en oeuvre efficace des différentes règles. De même, pour se montrer compétent, l’élève doit non seulement maitriser les procédures de base (les comprendre et les avoir intégrées) mais aussi se montrer compétent dans le choix et la combinaison des procédures efficientes dans la situation qui se présente à lui.

Tableau de comparaison entre les éléments nécessaires à la mobilisation attendue dans l’approche par compétence et le jeu suivi d’un débriefing retour sur les apprentissages.